Disquisitiones generales circa superficies curvas

DISQUISITIONES GENERALES
CIRCA

SUPERFICIES CURVAS
Auctore Carolo Friderico Gauss

Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis

recentiores. Vol. VI. GOTTINGAE MDCCCXXVIII.

Formula:VDisquisitiones, in quibus de directionibus variarum rectarum in spazio agitur, plerumque ad maius perspicuitatis et simplicitatis fastigium evehuntur, in auxilium vocando superficiem sphaericam radio $=1$ circa centrum arbitrarium descriptam, cuius singula puncta repraesentare censebuntur directiones rectarum radiis ad illa terminatis parallelarum. Dum situs omnium punctorum in spatio per tres coordinatas determinatur, puta per distantias a tribus planis fixis inter se normalibus, ante omnia consideranda veniunt directiones axium his plains normalium: puncta superficiei sphaericae, quae has directiones axium rapraesentant, per $(1)$, $(2)$, $(3)$ denotabimus; mutua igitur horum distantia erit quadrans. Ceterum axium directiones versus eas partes acceptas supponemus, versus quas coordinatae respondentes crescunt.

Formula:VHaud inutile erit, quasdam propositiones, quae in huiusmodi quaestionibus usum frequentem offerunt, hic in conspectum producere.

1. Angulus inter duas rectas se secantes mensuratur per arcum inter puncta, quae in superficie sphaerica illarum directionibus respondent.
2. Situs cuiuslibet plani repraesentari potest per circulum maximum in superficie sphaerica, cuius planum illi est parallelum.
3. Angulus inter duo plana aequalis est angulo sphaerico inter circulos maximos illa rapraesentantes, et proin etiam per arcum inter horum circulorum maximorum polos interceptum mensurantur. Et perinde inclinatio rectae ad planum mensuratur per arcum, a puncto, quod respondet directioni rectae, ad circulum maximum, qui plani situm rapraesentat, normaliter ductum.
4. Denotantibus $x$, $y$, $z$; $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$ coordinatas duorum punctorum, $r$ eorundem distantiam, atque $L$ punctum, quod in superficie sphaerica rapraesentat directionem rectae a puncto priore ad posterius ductae, erit

$x^{\prime }=x+\cos (1)L,y^{\prime }=y+\cos (2)L,z^{\prime }=z+\cos (3)L$

1. Hinc facile sequitur, haberi generaliter

$\cos (1)L^2+\cos (2)L^2+\cos (3)L^2=1$

nec non, denotante L′ quodcunque aliud punctum superficiei sphaericae, esse

$\cos (1)L.cos(1)L^{\prime }+\cos (2)L.\cos (2)L^{\prime }+\cos (3)L.\cos (3)L^{\prime }=\cos L{L}^{\prime }$

1. THEOREMA. Denotantibus $L$, $L^{\prime }$, $L^{″}$, $L^{‴}$ quatuor puncta in superficie sphaerae, atque $A$ angulum, quem arcus $L{L}^{\prime }$, $L^{″}{L}^{‴}$ in puncto concursus sui formant, erit

$\cos L{L}^{″}.\cos L^{\prime }{L}^{‴}-\cos L{L}^{‴}.\cos L^{\prime }{L}^{‴}=\sin L{L}^{\prime }.\sin L^{″}{L}^{‴}.\cos A$