Fontem paginae Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis inspicere

{{titulus2
|Scriptor= Leonhardus Eulerus
|OperaeTitulus= Solvtio problematis ad geometriam sitvs pertinentis
|OperaeWikiPagina= Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis
|Annus= 1736
|SubTitulus= 
|Genera=Mathematica
|Editio= Commentarii academiae scientiarvm imperialis Petropolitanae. Tomvs VIII. Ad annvm MDCCXXXVI. Petropoli, typis academiae cǀɔǀɔccxʟɪ. P. 128—140.
|Fons= 1. Commentarii academiae scientiarvm imperialis Petropolitanae. Tomvs VIII. Ad annvm MDCCXXXVI. Petropoli, typis academiae cǀɔǀɔccxʟɪ. P. 128—140.
2. ''Фляйшнер Г.'' Эйлеровы графы и смежные вопросы. М.: Мир, 2002. 335 с.: ил. ISBN 5-03-003115-4 (рус.). ISBN 0-444-88395-9 (англ.).
3. ''Herbert Fleischner.'' Eulerian Graphs and Related Topics. Part 1, Volume 1. Amsterdam: North-Holland, 1990. ISBN 0-444-88395-9.
}}

===  ===
{{Center|§. 1.}}
{{Justify|
{{indent|{{initiumstilatum|P}}Raeter illam Geometriae partem, quae circa quantitates verſatur, et omni tempore ſummo ﬅudio eﬅ exculta, alterius partis etiamnum admodum ignotae primus mentionem fecit ''Leibnitzius'', quam Geometriam {{Si6px}}tus vocauit. Iﬅa pars ab ipſo in ſolo {{Si6px}}tu determinando, {{Si6px}}tusque proprietatibus eruendis occupata e{{Ss9px}}e ﬅatuitur; in quo negotio neque ad quantitates reſpiciendum, neque calculo quantitatum vrendum {{Si6px}}t. Cuiusmodi autem problemata ad hanc {{Si6px}}tus Geometriam pertineant, et quali methodo in iis reſoluendis vti oporteat, non ſatis eﬅ deﬁnitum. Quamobrem, cum nuper problematis cuiusdam mentio e{{Ss9px}}et fa{{Ct10px}}a, quod quidem ad geometriam pertinere videbatur, at ita erat comparatum, vt neque determinationem quantitatum requireret, neque ſolutionem calculi quantitatum ope admitteret, id ad geometriam {{Si6px}}tus referre haud dubitaui: praeſertim quod in eius ſolutione ſolus {{Si6px}}tus in con{{Si6px}}derationem veniat, calculus vero nullius prorſus {{Si6px}}t vſus. Methodum ergo meam quam ad huius generis problemata ſoluenda inueni, tanquam ſpecimen Geometriae {{Si6px}}tus hic exponere conﬅitui.|0}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 2. Problema autem hoc, quod mihi ſatis notum e{{Ss9px}}e perhibebatur, erat ſequens: Regiomonti in Boru{{Ssi10px}}a e{{Ss9px}}e inſulam A <math>\mathfrak{der}</math> <math>\mathfrak{Kneiphof}</math> di{{Ct10px}}am, ﬂuuiumque eam cingentem in duos diuidi ramos, quemadmodum ex ﬁgura [Figura 1.] videre licet: ramos vero huius ﬂuuii ſeptem inﬅru{{Ct10px}}os e{{Ss9px}}e pontibus, ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'', et ''g''. Circa hos pontes iam iﬅa proponebatur quaeﬅio, num quis curſum ita inﬅituere queat, vt per {{Si6px}}ngulos pontes ſemel et non plus quam ſemel transeat. Hocque ﬁeri po{{Ss9px}}e, mihi dictum eﬅ, alios negare alios dubitare; neminem vero aﬃrmare. Ego ex hoc mihi ſequens maxime generale formaui problema; quaecunque {{Si6px}}t ﬂuuii ﬁgura et diﬅributio in ramos, atque quicunque fuerit numerus pontium, inuenire, vtrum per {{Si6px}}ngulos pontes ſemel tantum transiri queat, an vero ſecus?|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 3. Quod quidem ad problema Regiomontanum de ſeptem pontibus attinet, id reſolui po{{Ss9px}}et facienda perfe{{Ct10px}}a enumeratione omnium curſuum, qui inﬅitui po{{Ss9px}}unt; ex his enim innoteſceret, num quis curſus ſatisfaceret, an vero nullus. Hic vero ſoluendi modus propter tantum combinationum numerum et nimis e{{Ss9px}}et diﬃcilis atque operoſus, et in aliis quaeﬅionibus de multo pluribus pontibus ne quidem adhiberi po{{Ss9px}}et. Hoc porro modo {{Si6px}} operatio ad ﬁnem perducatur multa inueniuntur, quae non erant in quaeﬅione; in quo procul dubio tantae diﬃcultatis cauſa con{{Si6px}}ﬅit. Quamobrem mi{{Ss9px}}a hac methodo, in aliam inqui{{Si6px}}ui, quae plus non largiatur, quam oﬅendat, vtrum talis curſus inﬅitui queat an ſecus; talem enim methodum multo {{Si6px}}mpliciorem fore ſum ſuspicatus.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 4. Innititur autem tota mea methodus idoneo modo {{Si6px}}ngulos pontium transitus de{{Si6px}}gnandi, in quo vtor litteris maiusculis A, B, C, D {{Si6px}}ngulis regionibus adſcriptis, quae ﬂumine ſunt ſeparatae.
Ita, {{Si6px}} quis ex regione A in regionem B transmigrat per pontem ''a'' {{Si6px}}ue ''b'', hunc tran{{Si6px}}tum denoto litterus AB, quarum prior praebet regionem ex qua exierat viator, poﬅerior vero dat regionem in quam pontem transgre{{Ss9px}}us peruenit. Si deinceps viator ex regione B abeat in regionem D per pontem ''f'', hic tran{{Si6px}}tus repraeſentabitur litteris BD; duos autem hos tran{{Si6px}}tus ſucce{{Ssi10px}}ue inﬅitutos AB et BD denoto tantum tribus litteris ABD, quia media B de{{Si6px}}gnat tam regionem, in quam primo tran{{Si6px}}tu peruenit, quam regionem ex qua altero tran{{Si6px}}tu exit.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 5. Simili modo {{Si6px}} viator ex regione D progrediatur in regionem C per pontem ''g'', hos tres transitus ſucce{{Ssi10px}}ue fa{{Ct10px}}os quatuor litteris ABDC denotabo. Ex his enim quatuor litteris {{SIC|ABDG|ABDC}} intelligetur viatorem primo in regione A exiﬅentem tran{{Si6px}}i{{Ss9px}}e in regionem B, hinc e{{Ss9px}}e progre{{Ss9px}}um in regionem D, ex hacque vltra e{{Ss9px}}e profe{{Ct10px}}um in C: cum vero hae regiones ﬂuuiis {{Si6px}}nt a ſe inuicem ſeparatae, nece{{Ss9px}}e eﬅ vt viator tres pontes transierit. Sic transitus per quatuor pontes ſucce{{Ssi10px}}ue inﬅituti quinque litteris denotabuntur; et {{Si6px}} viator trans quotcunque pontes eat, eius migratio per litterarum numerum, qui vnitate eﬅ maior quam numerus pontium, denotabitur. Quare transitus per ſeptem pontes ad de{{Si6px}}gnandum o{{Ct10px}}o requirit litteras.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 6. In hoc de{{Si6px}}gnando modo non reſpicio, per quos pontes tran{{Si6px}}tus {{Si6px}}t fa{{Ct10px}}us, ſed {{Si6px}} idem tran{{Si6px}}tus ex vna regione in aliam per plures pontes ﬁeri poteﬅ, perinde eﬅ per quemnam transeat, modo in de{{Si6px}}gnatam regionem perveniat. Ex quo intelligitur, {{Si6px}} curſus per ſeptem ﬁgurae pontes ita inﬅitui po{{Ss9px}}et, vt per {{Si6px}}ngulos ſemel ideoque per nullum bis transeatur; hunc curſum o{{Ct10px}}o litteris repraeſentari po{{Ss9px}}e, easque litteras ita e{{Ss9px}}e debere dispo{{Si6px}}tas, vt immediata litterarum A et B ſucce{{Ssi10px}}o bis occurrat, quia ſunt duo pontes ''a'' et ''b'' has regiones A et B iungentes, {{Si6px}}mili modo ſucce{{Ssi10px}}o litterarum A et C quoque debet bis occurrere in illa o{{Ct10px}}o litterarum ſerie; deinde ſucce{{Ssi10px}}o litterarum A et D ſemel occurret; {{Si6px}}militerque ſucce{{Ssi10px}}o litterarum B et D, itemque C et D ſemel occurrat nece{{Ss9px}}e eﬅ.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 7. Quaeﬅio ergo huc reducitur, vt ex quatuor litteris A, B, C et D ſeries o{{Ct10px}}o litterarum formetur, in qua omnes illae ſucce{{Ssi10px}}ones toties occurrant quoties eﬅ praeceptum. Antequam autem ad talem dispo{{Si6px}}tionem opera adhibeatur, oﬅendi conuenit, vtrum tali modo hae litterae disponi queant an non. Si enim demonﬅrari poterit talem dispo{{Si6px}}tionem omnino ﬁeri non po{{Ss9px}}e, inutilis erit omnis labor, qui ad hoc eﬃciendum locaretur. Quamobrem regulam inueﬅigaui, cuius ope tam pro hac quaeﬅione, quam pro omnibus {{Si6px}}milibus, facile discerni queat, num talis litterarum dispo{{Si6px}}tio locum habere queat.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 8. Con{{Si6px}}dero ad huiusmodi regulam inueniendam vnicam regionem A, in quam quotcuncue pontes ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' etc. conducant [Figura 2.]. Horum pontium contemplor primo unicum ''a'', qui ad regionem A ducat; {{Si6px}} nunc viator per hunc pontem transeat vel ante tran{{Si6px}}tum e{{Ss9px}}e debuit in regione A vel poﬅ tran{{Si6px}}tum in A perueniet; quare in ſupra ﬅabilito tran{{Si6px}}tus de{{Si6px}}gnandi modo oportet vt littera A ſemel occurrat. Si tres pontes puta ''a'', ''b'', ''c'' in regionem A conducant, et viator per omnes tres transeat, tum in de{{Si6px}}gnatione eius migrationis littera A bis occurret, {{Si6px}}ue ex A initio curſum inﬅituerit {{Si6px}}ue minus. Simili modo {{Si6px}} quinque pontes in A conducant, in de{{Si6px}}gnatione tran{{Si6px}}tus per eos omnes littera A ter occurrere debet. Atque {{Si6px}} numerus pontium fuerit quicunque numerus impar, tum {{Si6px}} is vnitate augeatur, eius dimidium dabit, quot vicibus littera A occurrere debeat.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 9. In caſu igitur pontium transeundorum Regiomontano [Figura 1.], quia in inſulam A quinque pontes deducunt ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', nece{{Ss9px}}e eﬅ, vt in de{{Si6px}}gnatione transitus per hos pontes littera A ter occurrat. Deinde littera B, quia in regionem B tres pontes conducunt, bis debet occurrere, {{Si6px}}milique modo littera D bis debet occurrere, atque etiam littera C bis. In ſerie ergo o{{Ct10px}}o litterarum, quibus tran{{Si6px}}tus per ſeptem pontes deberet de{{Si6px}}gnari, littera A ter ade{{Ss9px}}e deberet, litterarum vero B, C, et D vnaquaeque bis; id quod in ſerie o{{Ct10px}}o litterarum omnino ﬁeri nequit. Ex quo perſpicuum eﬅ, per ſeptem pontes Regiomontanos talem tran{{Si6px}}tum inﬅitui non po{{Ss9px}}e.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 10. Simili modo de omni alio caſu pontium {{Si6px}} quidem numerus pontium, qui in quamque regionem conducit fuerit impar, indicari poteﬅ, an per {{Si6px}}ngulos pontes tran{{Si6px}}tus ſemel ﬁeri queat. Si enim euenit, vt ſumma omnium vicium, quibus {{Si6px}}ngulae litterae occurrere debent, aequalis {{Si6px}}t numero omnium pontium vnitate au{{Ct10px}}o, tum talis tran{{Si6px}}tus ﬁeri poteﬅ; {{Si6px}}n autem vt in noﬅro exemplo accidit, ſumma omnium vicium maior fuerit numero pontium vnitate au{{Ct10px}}o, tum talis tran{{Si6px}}tus nequaquam inﬅitui poteﬅ. Regula autem quam dedi pro numero vicium A ex numero pontium in regionem A deducentium inueniendo aeque valet; {{Si6px}}ue omnes pontes ex vna regione B, vt in ﬁgura [Figura 2.] repraeſentatur, ducant, {{Si6px}}ue ex diuer{{Si6px}}s; tantum enim regionem A con{{Si6px}}dero, et inquiro quot vicibus littera A occurrere debeat.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 11. Si autem numerus pontium, qui in regionem A conducunt, fuerit par, tum circa tran{{Si6px}}tum per {{Si6px}}ngulos notandum eﬅ, vtrum initio viator curſum ſuum ex regione A inﬅituerit an non. Si enim duo pontes in A conducant, et viator ex A curſum inceperit, tum littera A bis occurrere debet, ſemel enim ade{{Ss9px}}e debet ad de{{Si6px}}gnandum exitum ex A per alterum pontem, et ſemel quoque ad de{{Si6px}}gnandum reditum in A per alterum pontem. Sin autem viator ex alia regione curſum inceperit, tum ſemel tantum littera A occurret, ſemel enim po{{Si6px}}ta tam aduentum in A quam exitum inde denotabit, vt huiusmodi curſus de{{Si6px}}gnare ﬅatui.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 12. Conducant iam quatuor pontes in regionem A, et viator ex A curſum incipiat, tum in de{{Si6px}}gnatione totius curſus littera A ter ade{{Ss9px}}e debebit, {{Si6px}} quidem per {{Si6px}}ngulos ſemel transierit. At {{Si6px}} ex alia regione ambulare inceperit, tum bis tantum littera A occurret. Si ſex pontes ad regionem A conducant, tum littera A, {{Si6px}} ex A initium eundi eﬅ ſumtum, quater occurret, at {{Si6px}} non ex A initio exierit viator, tum ter tantum occurrere debebit. Quare generaliter {{Si6px}} numerus pontium fuerit par, tum eius dimidium dat numerum vicium, quibus littera A occurrere debet, {{Si6px}} initium non eﬅ in regione A ſumtum; dimidium vero vnitate au{{Ct10px}}um dabit numerum vicium, quoties littera A occurrere debet, initio curſus in ipſa regione A ſumto.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 13. Quia autem in tali curſu nonni{{Si6px}} ex vna regione initium ﬁeri poteﬅ, ideo ex numero pontium, qui in quamuis regionem deducunt, ita numerum vicium, quoties littera quamque regionem denotans occurrere debet, deﬁnio, vt ſumam numeri pontium vnitate au{{Ct10px}}i dimidium, {{Si6px}} numerus pontium fuerit impar; ip{{Si6px}}us vero numeri pontium medietatem, {{Si6px}} fuerit par. Deinde {{Si6px}} numerus omnium vicium adaequet numerum pontium vnitate au{{Ct10px}}um, tum tran{{Si6px}}tus de{{Si6px}}deratus ſuccedit, at initium ex regione, in quam impar pontium numerus ducit, capi debet. Sin autem numerus omnium vicium fuerit vnitate minor, quam pontium numerus vnitate au{{Ct10px}}us, tum tran{{Si6px}}tus ſuccedet incipiendo ex regione, in quam par pontium numerus ducit, quia hoc modo vicium numerus vnitate eﬅ augendus.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 14. Propo{{Si6px}}ta ergo quacunque aquae pontiumque ﬁgura, ad inveﬅigandum, num quis per {{Si6px}}ngulos ſemel transire queat, ſequenti modo operationem inﬅituo. Primo {{Si6px}}ngulas regiones aqua a ſe inuicem diremtas litteris A, B, C etc. de{{Si6px}}gno. Secundo ſumo omnium pontium numerum, eumque vnitate augeo, atque ſequenti operationi praeﬁgo. Tertio {{Si6px}}ngulis litteris A, B, C etc. {{Si6px}}bi ſubſcriptis, cuilibet adſcribo numerum pontium ad eam regionem deducentium. Quarto eas litteras, quae pares adſcriptos habent numeros {{Si6px}}gno aﬅeriſco. Quinto {{Si6px}}ngulorum horum numerorum parium dimidia adiicio, imparium vero vnitate au{{Ct10px}}orum dimidia ip{{Si6px}}s adſcribo. Sexto hos numeros vltimo ſcriptos in vnam ſummam coniicio; quae ſumma, {{Si6px}} vel vnitate minor fuerit vel aequalis numero ſupra praeﬁxo, qui eﬅ numeros pontium vnitate au{{Ct10px}}us, tum concludo tran{{Si6px}}tum de{{Si6px}}deratum perﬁci po{{Ss9px}}et. Hoc vero eﬅ tenendum, {{Si6px}} ſumma inuenta fuerit vnitate minor, quam numerus ſupra po{{Si6px}}tus, tum initium ambulationis ex regione aﬅeriﬅico notata ﬁeri debere, contra vero ex regione non {{Si6px}}gnata {{Si6px}} ſumma fuerit aequalis numero praeſcripto. Ita ergo pro caſu Regiomontano operationem inﬅituo, vt ſequitur:|2}}
}}

{{Center|
Numerus pontium 7, habetur ergo 8.
}}

{{Center|<math>
{\scriptstyle \mathsf{Pontes}} \atop
\left.
{\begin{array}{cc}
\rm \mathsf{A,}\quad \mathsf{5}\quad \\
\rm \mathsf{B,}\quad \mathsf{3}\quad \\
\rm \mathsf{C,}\quad \mathsf{3}\quad \\
\rm \mathsf{D,}\quad \mathsf{3}\quad \\
\end{array}}
\right|
\left.
{\begin{array}{c}
\mathsf{ 3}\\
\mathsf{ 2}\\
\mathsf{ 2}\\
\mathsf{ 2}\\
\end{array}}
\right.
</math>}}

{{Justify|
{{indent|Quia ergo plus prodiit quam 8, huiusmodi tran{{Si6px}}tus nequaquam ﬁeri poteﬅ.|0}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 15. Sint duae inſulae A et B aqua circumdatae, quacum aqua communicent quatuor ﬂuuii, quemadmodum ﬁgura [Figura 3.] repraeſentat. Traie{{Ct10px}}o porro {{Si6px}}nt ſuper aquam inſulas circumdantem et ﬂuuios quindecim pontes ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', etc. et quaeritur, num quis curſum ita inﬅituere queat, vt per omnes pontes transeat, per nullum autem plus quam ſemel. De{{Si6px}}gno ergo primum omnes regiones, quae aqua a ſe inuicem ſunt ſeparatae litteris A, B, C, D, E, F cuiusmodi ergo ſunt ſex regiones. Dein numerum pontium 15 vnitate augeo, et ſummam 16 ſequenti operationi praeﬁgo.|2}}
}}

{{Center|<math>
{\qquad\qquad\quad\;\;\underline{\;\mathsf{16}\quad}\atop
\left.
{\begin{array}{cc}
\rm \mathsf{A}\scriptstyle\text{✴}\displaystyle\;\;^{\underline{\displaystyle{\;\;\;}}\;} \mathsf{8}\quad \\
\rm \mathsf{B}\scriptstyle\text{✴}\displaystyle\;\;^{\underline{\displaystyle{\;\;\;}}\;} \mathsf{4}\quad \\
\rm \mathsf{C}\scriptstyle\text{✴}\displaystyle\;\;^{\underline{\displaystyle{\;\;\;}}\;} \mathsf{4}\quad \\
\rm \mathsf{D}^{\underline{\displaystyle{\;\;\;\;\;\;}}\;} \mathsf{3}\quad \\
\rm \mathsf{E\,}^{\underline{\displaystyle{\;\;\;\;\;\;}}\;} \mathsf{5}\quad \\
\rm \mathsf{F}\scriptstyle\text{✴}\displaystyle\;\;^{\underline{\displaystyle{\;\;\;}}\;} \mathsf{6}\quad \\
\end{array}}
\right|
\left.
{\begin{array}{r}
\mathsf{ \;4}\\
\mathsf{ \;2}\\
\mathsf{ \;2}\\
\mathsf{ \;2}\\
\mathsf{ \;3}\\
\mathsf{ \;3}\\
\end{array}}
\right.}
\atop\qquad\qquad\quad\;\;\overline{\;\mathsf{16}\quad}
</math>}}

{{Justify|
{{indent|Tertio litteras A, B, C etc. {{Si6px}}bi inuicem ſubſcribo, et ad quamque numerum pontium, qui in eam regionem ducunt pono, vt ad A o{{Ct10px}}o ducunt pontes, ad B quatuor etc. Quarto litteras, quae pares adiun{{Ct10px}}os habent numeros aﬅerico noto. Quinto in tertiam columnam ſcribo parium numerorum dimidia, impares vero vnitate augeo, et ſemi{{Ss9px}}es appono. Sexto tertiae columnae numeros inuicem addo, et obtineo ſummam 16{{SIC|.|;}} quae cum aequalis {{Si6px}}t numero ſupra po{{Si6px}}to 16, ſequitur tran{{Si6px}}tum de{{Si6px}}derato modo ﬁeri po{{Ss9px}}e, {{Si6px}} modo curſus vel ex regione D vel E incipiatur, quippe quae non ſunt aﬅeriſco notatae. Curſus autem ita ﬁeri poterit E''a''F''b''B''c''F''d''A''e''F''f''C''g''A''h''C''i''D''k''A''m''E''n''A''p''B''o''E''l''D vbi inter litteras maiusculas pontes {{Si6px}}mul colocaui, per quos ﬁt tran{{Si6px}}tus.|0}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 16. Hac igitur ratione facile erit in caſu quam maxime compo{{Si6px}}to iudicare, vtrum tran{{Si6px}}tus per omnes pontes ſemel tantum ﬁeri queat, an non. Hoc tamen adhuc multo faciliorem tradam modum idem dignoſcendi, qui ex hoc ipſo modo non diﬃculter eruetur, poﬅquam ſequentes obſeruationes in medium protulero. Primo autem obſeruo omnes numeros pontium {{Si6px}}ngulis litteris A, B, C etc. adſcriptos {{Si6px}}mul ſumptos duplo maiores e{{Ss9px}}e toto pontium numero. Huius rei ratio eﬅ, quod in hoc computo, quo pontes omnes in datam regionem ducentes numerantur, quilibet pons bis numeretur; refertur enim quisque pons ad vtramque regionem, quas iungit.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 17. Sequitur ergo ex hac obſeruatione ſummam omnium pontium, qui in {{Si6px}}ngulas regiones conducunt, e{{Ss9px}}e numerum parem, quia eius dimidium pontium numero aequatur. Fieri ergo non poteﬅ, vt inter numeros pontium in quamlibet regionem ducentium vnicus {{Si6px}}t impar; neque etiam vt tres {{Si6px}}nt impares, neque quinque, etc. Quare {{Si6px}} qui pontium numeri litteris A, B, C, etc, adſcripti ſunt impares, nece{{Ss9px}}e eﬅ vt eorum numerus {{Si6px}}t par, ita in exemplo Regiomontano quatuor erant pontium numeri impares litteris regionum A, B, C, D adſcripti, vti ex §. 14. videre licet; atque in exemplo praecedente §. 15, duo tantum ſunt numeri impares, litteris D et E adſcripti.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 18. Cum ſumma omnium numerorum litteris A, B, C etc. adiun{{Ct10px}}orum aequet duplum pontium numerum, manifeﬅum eﬅ illam ſummam binario au{{Ct10px}}am, et per 2 diuiſam dare numerum operationi praeﬁxum. Si igitur omnes numeri litteris A, B, C, D etc. adſcripti fuerint pares, et eorum {{Si6px}}ngulorum medietates capiantur ad numeros tertiae columnae obtinendos, erit horum numerorum ſumma vnitate minor, quam numerus praeﬁxus. Quamobrem his ca{{Si6px}}bus ſemper transitus per omnes pontes ﬁeri poteﬅ. In quacunque enim regione curſus incipiatur, ea habebit pontes numero pares ad ſe conducentes, vti requiritur. Sic in exemplo Regiomontano ﬁeri poteﬅ, vt quis per omnes pontes bis transgrediatur, quilibet enim pons, qua{{Si6px}} in duos erit diuiſus, numerusque pontium in quamuis regionem ducentium erit par.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 19. Praieterea {{Si6px}} duo tantum numeri litteris A, B, C etc. adſcripti fuerint impares, reliqui vero omnes pares, tum ſemper de{{Si6px}}deratus tran{{Si6px}}tus ſuccedet, {{Si6px}} modo curſus ex regione ad quam pontium impar numerus Tendit incipiatur. Si enim pares numeri biſecentur atque etiam impares vnitate au{{Ct10px}}i, vti praeceptum eﬅ, ſumma harum medietatum vnitate erit maior quam numerus pontium, ideoque aequalis ip{{Si6px}} numero praeﬁxo. Ex hocque porro perſpicitur, {{Si6px}} quatuor vel ſex vel o{{Ct10px}}o etc. fuerint numeri impares in ſecunda columna, tum ſummam numerorum tertiae columnae maiorem fore numero praeﬁxo, eumque excedere vel vnitate, vel binario vel ternario etc. et idcirco tran{{Si6px}}tus ﬁeri nequit.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 20. Caſu ergo quocunque propo{{Si6px}}to ﬅatim facillime poterit cognoſci, vtrum tran{{Si6px}}tus per omnes pontes ſemel inﬅitui queat an non, ope huius regulae. Si fuerint plures duabus regiones, ad quas ducentium pontium numerus eﬅ impar, tum certo aﬃrmari poteﬅ, talem tran{{Si6px}}tum non dari. Si autem ad duas tantum regiones ducentium pontium numerus eﬅ impar, tunc transitus ﬁeri poterit, {{Si6px}} modo curſus in altera harum regionum incipiatur. Si denique nulla omnino fuerit regio, ad quam pontes numero impares conducant, tum tran{{Si6px}}tus de{{Si6px}}derato modo inﬅitui poterit, in quacunque regione ambulandi initium ponatur. Hac igitur data regula problemati propo{{Si6px}}to pleni{{Ssi10px}}me ſatisﬁt.|2}}
}}

===  ===
{{Justify|
{{indent|§. 21. Quando autem inuentum fuerit talem transitum inﬅitui po{{Ss9px}}e, quaeﬅio ſupereﬅ quomodo curſus {{Si6px}}t dirigendus. Pro hoc ſequenti vtor regula; tollantur cogitatione quoties ﬁeri poteﬅ, bini pontes, qui ex vna regione in aliam ducunt, quo pa{{Ct10px}}o pontium numerus vehementer plerumque diminuetur, tum quaeratur, quod facile ﬁet, curſus  de{{Si6px}}deratus per pontes reliquos, quo inuento pontes cogitatione ſublati hunc ipſum curſum non multum turbabunt, id quod paululum attendenti ﬅatim patebit; neque opus e{{Ss9px}}e iudico plura ad curſus reipſa formandos praecipere.|2}}
}}

===  ===
{{inline float|c|500|Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Fig. 1 - Cleaned Up.png||hi=off}}


{{inline float|c|500|Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Fig. 2 (Clean up).png||hi=off}}


{{inline float|c|500|Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Fig. 3 - Cleaned Up.png||hi=off}}